自 18 世纪以来，计算相位曲线的方法就已经存在。这些解决方案中最古老的可以追溯到生活在 18 世纪的瑞士数学家、物理学家和天文学家约翰·海因里希·兰伯特。“兰伯特反射定律”归功于他。

美国天文学家亨利·诺里斯·罗素 (Henry Norris Russell) 在 1916 年的一篇有影响力的论文中提出了计算太阳系行星反射光的问题。1981 年另一个著名的解决方案归功于美国月球科学家布鲁斯·哈普克 (Bruce Hapke)，他以 1960 年印裔美国诺贝尔奖获得者苏布拉曼尼扬·钱德拉塞卡 (Subrahmanyan Chandrasekhar) 的经典著作为基础。哈普克率先使用相位曲线的数学解法研究月球。苏联物理学家维克多·索博列夫 (Viktor Sobolev) 在其 1975 年颇具影响力的教科书中也对天体反射光的研究做出了重要贡献。受这些科学家工作的启发，伯尔尼大学空间与宜居性 CSH 中心的理论天体物理学家 Kevin Heng 发现了一整套用于计算相位曲线的新数学解决方案。这篇论文由 Kevin Heng 与国家研究能力中心 NCCR PlanetS(伯尔尼大学和日内瓦大学共同管理)的 Brett Morris 和 CSH 的 Daniel Kitzmann 共同撰写，发表于 伯尔尼大学空间与宜居性 CSH 中心的理论天体物理学家 Kevin Heng 发现了一整套用于计算相位曲线的新数学解决方案。这篇论文由 Kevin Heng 与国家研究能力中心 NCCR PlanetS(伯尔尼大学和日内瓦大学共同管理)的 Brett Morris 和 CSH 的 Daniel Kitzmann 共同撰写，发表于 伯尔尼大学空间与宜居性 CSH 中心的理论天体物理学家 Kevin Heng 发现了一整套用于计算相位曲线的新数学解决方案。这篇论文由 Kevin Heng 与国家研究能力中心 NCCR PlanetS(伯尔尼大学和日内瓦大学共同管理)的 Brett Morris 和 CSH 的 Daniel Kitzmann 共同撰写，发表于自然天文学。

一般适用的解决方案

“我很幸运，这些伟大的科学家已经完成了这些丰富的工作。哈普克发现了一种更简单的方法来写下钱德拉塞卡的经典解，钱德拉塞卡以解决各向同性散射的辐射传递方程而闻名。索博列夫已经意识到，可以在至少两个数学坐标系中研究问题。” Sara Seager 在她 2010 年的教科书中总结了这个问题，让 Heng 注意到了这个问题。

通过结合这些见解，Heng 能够写出反射强度(反照率)和相位曲线形状的数学解决方案，完全在纸上，无需借助计算机。“这些解决方案的突破性方面是它们适用于任何反射定律，这意味着它们可以以非常普遍的方式使用。当我将这些纸笔计算与其他计算进行比较时，决定性的时刻到来了研究人员已经完成了计算机计算。我对它们的匹配程度感到震惊，“Heng 说。

木星相位曲线分析成功

“让我兴奋的不仅是新理论的发现，还有它对解释数据的重大影响，”Heng 说。例如，卡西尼号飞船在 2000 年代初测量了木星的相位曲线，但之前没有对数据进行深入分析，可能是因为计算成本太高。借助这一系列新的解决方案，Heng 能够分析卡西尼号相位曲线，并推断出木星的大气层充满了由不同大小的不规则大粒子组成的云层。这项平行研究刚刚由《天体物理学杂志快报》与美国德克萨斯州休斯顿大学的卡西尼号数据专家和行星科学家 Liming Li 合作发表

分析太空望远镜数据的新可能性

“在纸上写下反射光相位曲线的数学解决方案的能力意味着人们可以用它们在几秒钟内分析数据，”Heng 说。它开辟了解释以前不可行的数据的新方法。Heng 正在与 Pierre Auclair-Desrotour(前身为 CSH，目前在巴黎天文台)合作，以进一步推广这些数学解决方案。“Pierre Auclair-Desrotour 是一位比我更有才华的应用数学家，我们承诺在不久的将来会取得令人兴奋的结果，”Heng 说。

在自然天文学在论文中，Heng 和他的合著者展示了一种从开普勒太空望远镜分析系外行星 Kepler-7b 相位曲线的新方法。Brett Morris 领导了论文的数据分析部分。“Brett Morris 在我的研究小组中领导 CHEOPS 任务的数据分析，他的现代数据科学方法对于成功将数学解决方案应用于实际数据至关重要，”Heng 解释说。他们目前正在与美国领导的 TESS 太空望远镜的科学家合作，分析 TESS 相位曲线数据。Heng 设想，这些新的解决方案将导致分析来自即将于 2021 年晚些时候发射的价值 100 亿美元的詹姆斯韦伯太空望远镜的相位曲线数据的新方法。