大家好,小甜来为大家解答以下的问题,关于基数是什么意思通俗易懂,基数是什么意思这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、在数学上,基数(cardinal number)是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。
2、两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。
3、例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。
4、概念根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。
5、这样,每一个集合都被划入了某一类。
6、任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作|A|(或cardA)。
7、这样,当A 与B同属一个类时,A与B 就有相同的基数,即|A|=|B|。
8、而当 A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。
9、如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。
10、空集的基数也记作0。
11、于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。
12、但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集。
13、不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同。
14、所以集合的基数是个数概念的推广。
15、基数可以比较大小。
16、假设A,B的基数分别是a,β,即|A|=a,|B|=β,如果A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a。
17、如果 a≤ β,但a≠β( 即A与B不对等 ),就称A的基数小于B的基数,记作a<β,或β>a。
18、在承认选择公理的情况下,可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合A和B,使得A不能与B的任何子集对等,B也不能与A的任何子集对等。
19、基数可以进行运算 。
20、设|A|=a ,|B|=β,定义 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。
21、另,a与β的积规定为|AxB|,A×B为A与B的笛卡儿积。
22、扩展资料:基数算术我们可在基数上定义若干算术运算,这是对自然数运算的推广。
23、给定集合 X 与 Y,定义 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y},则基数和是|X| + |Y| = |X + Y|。
24、 若 X 与 Y 不相交,则 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。
25、基数积是|X||Y| = |X × Y|,其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡儿积。
26、基数指数是|X|^|Y| = |X^Y|,其中 X^Y 是所有由 Y 到 X 的函数的集合。
27、普通性质在有限集时,这些运算与自然数无异。
28、一般地,它们亦有普通算术运算的特质:加法和乘法是可交换的,即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。
29、加法和乘法符合结合律,(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)分配律,即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|| = |X||Y|+|X||Z|。
30、无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。
31、若 X 与 Y 皆非空而其中之一为无限集,则|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}.记 2 ^ | X | 是 X 的幂集之基数。
32、由对角论证法可知 2 ^ | X | > | X |,是以并不存在最大的基数。
33、事实上,基数的类是真类。
34、其他性质还有些关于指数的有趣性质:|X|^0 = 1 (很奇怪地 0^0 = 1)。
35、0^|Y| = 0 若 Y 非空。
36、1^|Y| = 1。
37、|X| ≤ |Y| 则 |X||Z| ≤ |Y||Z|。
38、若 |X| 和 |Y| 均为有限集且大于 1,而 Z 是无穷集,则 |X||Z| = |Y||Z|。
39、若 X 是无穷集而 Y 是非空的有限集,则 |X||Y| = |X|。
40、参考资料:基数(数学术语)_百度百科。
本文分享完毕,希望对大家有所帮助。